Je n'ai pas fait cet itinéraire, mais j'ai pris beaucoup de trains en Russie, au Kazakhstan et en Uzbékistan en 2004 sans jamais avoir le moindre souci (un contrôle de passeport une fois au KZ mais sans problème, ils regardaient les papiers de tous les voyageurs). J'ai passé la frontière UZ-KZ à pied (le bus ne traversait pas en avril après les attentats de Tachkent) sans aucun souci alors que j'étais la seule à avoir besoin d'un visa parmi des centaines d'Ouzbeks et des dizaines de kazaks (et que j'avais un peu d'appréhension après quelques problèmes avec la police du métro de Tachkent).
Par contre il faut se méfier des trains qui slaloment le long de la frontière russo-kazake passant d'un pays à l'autre puis retour etc, car nos visas ne sont pas adaptés. Je crois me souvenir par exemple que c'est le Samara-Astrakhan qui passe par le KZ, donc à éviter car visa Kz obligatoire, ainsi que pour aller de Uralsk au KZ vers d'autres villes kazakes, l'itinéraire passer par la Russie
Je ne sais si c'est le cas du Moscou Bichkek mais il est possible de vérifier le détail d'un itinéraire gare par gare sur
http://www.poezda.net/en/index les deux premiers chiffres du code d'une gare sont le code du pays (20 pour la Russie, 27 pour le KZ si je me souviens bien).