Bonjour,
Pour l'hébergement tu peux regarder sur Airbnb.
Au niveau des choses à faire en une semaine tu as les classiques : Colisée, forum, le Capitole et ses musées, tout le centre historique avec ses belles places, la galerie Borghese... tu trouveras globalement ces réponses en fouillant un peu sur le net et en regardent les guides, c'est pas comme si Rome était une ville exotique...
Pour le voyage pas cher c'est possible quoique certains en disent. Je t'invite à aller voir mon carnet de voyage sur mes deux derniers voyages à Rome, avec un petit budget :
http://voyageforum.com/discussion/deuxieme-troisieme-sejour-rome-entre-classiques-hors-sentiers-battus-petit-budget-d7241452/En gros pour bien manger et moins cher il faut s'éloigner de l'hyper centre touristique, et tu peux aussi utiliser le site lafourchette qui propose des réductions jusqu'à -50%.