Pour rejoindre le centre d'Oslo depuis l'aéroport (si c'est bien ça la question) en effet le plus simple est le train. Vous avez soit le train express dédié Flytoget, soit le train des lignes régulières Vy (équivalent de la SNCF locale). Les trains Vy sont deux fois moins cher et mettent environ 2-3 minutes de plus, mais il y en a un peu moins souvent (3 fois par heure contre 6 fois par heure pour Flytoget, qui circule aussi plus tard en soirée). Les deux partent de la même gare à l'aéroport donc vous pouvez vous décider sur place mais perso je conseille le train régulier.
Oslo est une ville sympa, vous pouvez regarder visitoslo.com pour une idée des activités. Sur place vous pouvez acheter soit l'Oslopass (pass touristique qui inclut l'entrée dans pas mal de musée et le transport) ou juste un pass transport, il me semble qu'il y en a un pour 7 jours (la compagnie est Ruter). Faites le calcul du plus avantageux selon ce que vous souhaitez visiter, en général l'OsloPass est valable si vous visitez beaucoup de musée, sinon pas trop.
Vous avez un office de tourisme dans le bâtiment de la gare centrale (dans l'aile où il y a tous les restos).
Attention Noël est une fête très familiale en Norvège et beaucoup de choses seront fermées les 24/25/26, magasins, restaurants. L'office du tourisme a établi une liste des restaurants ouverts à cette période :
https://www.visitoslo.com/globalassets/dok/restaurants-in-oslo-christmas-new-year.pdf/ , je vous conseille de réserver si vous voulez diner au resto ces soirs-là. Si vous voulez faire des courses pour faire votre repas vous-même attention le 24 décembre les magasins risquent de fermer tôt.