http://www.meteo.fr/test/gratuit/wwis/prev.htm?a=IN&b=224&c=00224&d=C&e=Tableau statistique météo à Delhi. On constate que le nombre de jours de pluie et la hauteur d'eau deviennent très importants en juillet. Donc si tu voyages début juin ce sera encore la canicule sèche et poussiéreuse, si tu voyages fin juin ce sera la grosse chaleur humide entrecoupée de fréquentes averses diluviennes (et plus de moustiques). Je crois que je préfère cette période-ci à la très grande chaleur qui précède la mousson.
A ta place, j'arriverais à Delhi (en prenant soin de réserver un hôtel relativement confortable et bien sûr avec AC pour m'habituer au climat), je resterais à Delhi deux jours en (re)visitant la Old Delhi aux heures fraîches (comme dans les pays méditerranéens, on reste dedans et farniente aux heures chaudes de l'après-midi, on vit tôt le matin et tard le soir), puis j'irais en train à Agra visiter le Taj et le Lal Quila (éventuellement Fatepur Sikri aussi) toujours en prenant soin de l'hôtel avec AC, retour sur Delhi où je prendrais l'avion pour Leh, premier et deuxième jours à Leh farniente absolu pour éviter le mal de l'altitude, 3è et 4è jour quelques sorties à pied à Leh (ce sera encore dur physiquement - très vite essoufflé), puis balade en taxi dans la vallée de Leh pour visiter un ou deux monastères, puis départ de Leh vers Alchi (marche à pied possible soit au plat, soit dans un défilé qui monte derrière Alchi), vers Lamayuru, vers la Nubra vallee, etc., retour à Leh pour éventuel petit trek de quelques jours pas plus (dépend de la capacité des enfants à marcher - voir avec l'agence locale la possibilité de faire porter le plus petit à cheval, au moins par période, ce n'est pas sûr que cela soit possible, à voir). Puis retour sur Manali en deux jours en louant une Toyota Qualis (avec les enfants cela s'impose à mon avis, ne serait-ce que pour les poses obligatoires de temps en temps, en bus cela serait trop long) et en dormant sous les yourtes à mi-chemin. Une idée si encore du temps : faire un grand crochet vers Amritsar voir le Golden temple et la cérémonie de fermeture de la frontière le soir. Puis retour sur Delhi en train Shatabdi. Manali -->Amritsar en bus est extrêment fatigant, préférer la descente de la Nubra vallee en voiture ou en bus deluxe et rejoindre Chandigar ou autre ville pour prendre le train vers Amritsar.
Voilà pour une sorte de voyage inoubliable (et à mon avis tout à fait réalisable). Il ne pleuvra de façon torrentielle et continue que sur les contrefort de l'Himalayas c'est à dire en allant sur Manali et jusqu'au premier (un peu après peut-être) col à 5000 mètres.