Bonjour,
Chez BA, j'ai toujours pu payer mon excédent bagage dès lors que j'avais obtenu le billet électronique. C'est l'enregistrement en ligne qui n'est possible que 24h avant.
J'avais été confronté à un problème similaire: plusieurs compagnies pour un trajet et un bagage supplémentaire. J'ai posé la question au service client de BA qui m'a répondu que chaque compagnie me facturerait l'excédent bagage. Au final, quelqu'un m'a accompagné et a pris le bagage dans sa franchise gratuite donc je ne pourrais pas vous dire si c'est effectivement le cas.
Pourtant, il existe depuis 2011, la résolution IATA 302 (Most Significant Carrier) qui précise que dans le cas de vols en partage de codes (par exemple: BA vous vend un vol ANZ et sur votre billet la mention vol BAXXX opéré par Air New Zealand), c'est la compagnie qui a vendu le billet qui doit vous facturer le sac de sport.
Le problème, c'est qu'il est difficile de comprendre comment cette résolution fonctionne (il y a autant de subtilités que de cas différents) autant pour le voyageur que pour les compagnies. 2 ans après l'instauration de cette règle, il semble que beaucoup d'employés au sein des compagnies aériennes ne la comprenne (et donc ne l'applique) toujours pas.

Bref, si sur votre billet, vos vols sont mentionnés sous la forme vol BAXXX opéré par ANZ ou ATN, c'est BA qui vous devrait vous facturer. Sinon, c'est la compagnie opérant le vol le plus long (ANZ en l’occurrence) qui vous facturera le sac de sport. Ça c'est en théorie mais il serait très intéressant que vous reveniez nous dire ce qu'il en a été une fois revenu de
Tahiti.

Quant au fait de ne pas pouvoir accéder à vos réservations sur les sites d'ANZ et ATN c'est du au fait que la référence de réservation est propre à BA (qui vous a vraisemblablement vendu le vol) et ne fonctionne donc pas sur ces sites. Vous pouvez contacter ces 2 compagnies pour voir si elles peuvent vous donner les références propres à leurs sites.