En début Juin, tu peux te baigner sans problème, et c'est plus agréable si tu n'as pas l'habitude du soleil (tu risque moins d'avoir des coups de soleil qu'en juillet / aout) et en + la nuit il fait bien frais.
Pour ce qui est de
Monastir, ne manques surtout pas ces sites historiques, tu peux visiter le mausolée habib bourguiba, le ribat, la médina, le port la marina.
Je te conseille aussi d'aller à
Mahdia (40km) la plage est magnifique.
Et surtout ne manques pas la ville de
sousse, vu que c'est à côté (15/20km) et le
port el kantaoui qui est à hammam
sousse (très facile à trouver).
Il ya aussi l'Amphitéatre Romain à voir à
El Jem (40km).
Si tu veux plus de précision n'hésite pas à me demander.
Bne journée ++