Je pense que le circuit proposé par Sabeidee est bien vu le temps que tu as...
Moi je ferai ça...
Jour 1 : T'arrives à
Mumbai, tu passes la journée, le soir tu prends un train pour Goa...
Jour 2 : T'arrives à Goa le matin et tu prends une correspondance pour
Hampi, tu arriveras en fin d'après midi...
Jour 3 & 4 : Tu visites
Hampi...
Jour 5 : Tu prends un train pour Goa le matin et là une correspondance pour Cochi (Ernakulam je crois)... Tu arriveras en fin d'après midi aussi...
Jour 6 & 7 : Tu visites Cochi, en début d'après midi tu embarques pour Allapey, tu arriveras le soir... Je sais pas trop si tu devras prendre un car ou un train car moi je venais de Kumali, donc j'ai pris un bateau à une ville escale pour me rendre à Allapey, mais ça doit être faisable de Cochi d'y aller directement, ou alors tu prends un train de Cochi jusqu'à cette ville escale et là un bateau pour Allapey, mais attention à l'heure d'arrivée dans ce cas, pour avoir un bateau pour Allapey faudra pas arriver après 16h - 16h30 je pense.
Jour 8 : D'Allapey, le matin tu descends les backwater jusqu'à Kollam et le soir tu prends direct un car pour
Varkala...
Jour 9 : Tu te fais une soirée romantique en bouffant des gambas, une journée farniente sur la plage et une autre soirée...

Jour 10 : Le matin tu vas à Thrivandrum en train et tu prends un low cost pour
Mumbai en début d'après midi. Tu devrais pouvoir arriver en fin d'après midi à
Mumbai du coup. Puis tu embarques pour chez toi. Ceci ne sera faisable évidemment que si ton avion pour l'
Europe est tard le soir, sinon pas possible.

Faut bien calculer les transports car ça prend parfois du temps... Aussi sur les longs trajets en train fait les de nuit si tu peux.
Si c'est trop juste, tu peux rogner sur la journée à
Mumbai, ou ne passer qu'un jour à
Hampi (mais c'est beacoup de déplacement pour un jour je trouve), ou bien zapper l'escale à
Varkala, ou encore ne rester qu'un jour à Cochi... A toi de voir

Tu peux aussi ne faire que Goa -
Hampi & Cochi, t'auras pas fait les
backwaters mais t'auras pas couru.
Ou bien Cochi - Allapey/Kollam &
Varkala (peu de transports dans cette option ci car c'est la même ligne de train je crois)...
Ou encore
Hampi - Cochi & Allapey/Kollam...
Dans la première option tu reprendras un low cost à Cochi.
Dans les deux dernière options tu iras de toute manière prendre un low cost à Thrivandrum.
Encore une remarque, Allapey/Kollam ne vaut le coup que si tu veux descendre les
backwaters à mon avis, car les villes en elles même ne présentent aucun intérêt.

Bonne route