Salut,
pour
Budapest, je ne sais pas combien vous serez, mais à partir de 4 personnes (mieux: 6) le plus intéressant à faire est de louer un appartement. Tu t'en sors pour 10 euros la nuit par personne, dans des appartements tout équipés et placés en centre-ville. J'avais réservé via le site httphostelworld.com.
Si tu es seul, les auberges semblent plus appropriées (toujours sur le site hostelworld, tu as le plus grand choix je pense).
En ce qui concerne les sorties, je me souviens surtout du Corviteto (un bar au 5e étage d'un immeuble abandonné, très original, avec une grande terrasse au sommet de l'immeuble) et du Szimpla (pareil bar assez atypique, un peu bobo et plus cher que la moyenne hongroise cependant). J'ai oublié le nom des autres bars où je suis allée.
Pour les boites, je te conseille la Mokkacuka sur l'île d'Obudai. Je n'y suis allée que dans le cadre du Sziget festival, donc évidemment l'ambiance était excellente, mais je pense que ça reste un très bon lieu pour faire la fête en dehors de ça.